Clase 6

 EDGAR VALDEZ

202306010

6TA CLASE

ESTADISTICA

Probabilidad condicional e independencia

El concepto de probabilidad condicional está presente en el habla cotidiana. Son comunes, por ejemplo, expresiones del tipo:

Cuando llueve, la probabilidad de que se produzcan atascos es del 40%.

Si 

$A$

 es el evento atascos, la expresión anterior no significa que 

$P\left(A\right)=.4$

: 

$A$

 incluye también el evento atasco en ausencia de lluvia. Si 

$B$

 es el evento lluvia, la manera en que se representa la expresión anterior es

$$P\left(A|B\right)=.4,$$

que se lee así: la probabilidad condicional de 

$A$

 dado 

$B$

 es del 40%.

Supóngase ahora que de cada 100 días, 10 llueve. Es decir, que 

$P\left(B\right)=.1$

. Entonces, de cada 100 días, 4 lloverá y habrá atasco. Es decir, 

$P(A\cap B)=0.04$

. En general,

$$P(A\cap B)=P\left(A|B\right)\times P\left(B\right)$$

o, como se suele ver escrito por todas partes,

$$P\left(A|B\right)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$$

.$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Ejercicio 3.1 Supóngase que 

$P\left(A\right)=.2$

 y 

$P\left(B\right)=.5$

. Entonces, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son necesariamente ciertas?

• $P\left(A|B\right)=.1$
• $P\left(A|B\right)\le .4$
• $P\left(A|B\right)>0$

¿Puedes ilustrar tu razonamiento con ejemplos concretos y cotidianos?

El concepto de la probabilidad condicional aparece en muchos contextos, frecuentemente con denominaciones específicas. Por ejemplo, en epidemiología se distingue entre la tasa de mortalidad (o la probabilidad de morir a causa de una determinada enfermedad), que podríamos representar como 

$P\left(M\right)$

 y la tasa de letalidad, 

$P\left(M|C\right)$

, que es la probabilidad de morir condicionada a haber contraído la enfermedad. También se habla de tasa de paro (la probabilidad de estar desempleado) y, p.e., tasa de paro femenina, o la probabilidad de que una mujer se encuentre desempleada, que es la probabilidad de que una persona esté desempleada condicionada a que dicha persona es mujer (o 

$P\left(D|M\right)$

).

Hablar de probabilidades condicionales viene a ser equivalente a cambiar (o estrechar) el marco de referencia, el evento total. De hecho, por lo anterior,

$$P\left(B|B\right)=\frac{P(B\cap B)}{P\left(B\right)}$$

=P(B)P(B)

=1.$$P(B|B)=\frac{P(B\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1.$$

Al condicionar por 

$B$

, por lo tanto, se está reemplazando el conjunto total, 

$\Omega$

, por 

$B$

. En el ejemplo concreto con el que se inicia esta sección, eso significa que ya no se tienen en cuenta todas las condiciones meteorológicas posibles sino solamente aquellas en que llueve.

Ni que decir tiene que también es posible condicionar usando eventos definidos por variables aleatorias. En tal caso, por abreviar, se usa la notación

$$P(A|X=a)$$

para representar la probabilidad de 

$A$

 condicionada por evento en que la variable aleatoria 

$X$

 toma el valor 

$a$

. También se usan otras expresiones análogas cuyo significado se entenderá sin problemas en su contexto.

Probabilidad condicional para sucesos independientes

Dos sucesos,  y , son independientes cuando la probabilidad de que suceda  no se ve afectada porque haya sucedido, o no, .

Por ejemplo, Si tiramos dos veces una moneda, el segundo resultado que obtenemos no está influenciado por el primer resultado obtenido.

Si dos sucesos  y  son independientes, entonces .

Por tanto, si , de la definición de probabilidad condicional resulta que:

En otras palabras, si dos sucesos  y  son independientes, entonces la probabilidad condicional de  cuando se sabe que  ha ocurrido es la misma que la probabilidad incondicional de  cuando no se dispone de información sobre . El resultado recíproco también es cierto, si:

entonces los sucesos  y  deben ser independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos,  y , son dependientes cuando la probabilidad de que suceda  se ve afectada porque haya sucedido, o no, .

Dos sucesos  y  son dependientes si:

Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=Q6QYG2VtdMA

Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=AT78AzlPjnM

Ejemplo de probabilidad condicional

A continuación, veamos un ejemplo de probabilidad condicional.

Supongamos que tenemos un aula con 30 alumnos, siendo el 50 % de 14 años y el otro 50% de 15 años. Además, sabemos que 12 integrantes del salón tienen 14 años y usan resaltador en sus libros ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante del salón use resaltador si tiene 14 años?

Siguiendo la fórmula mostrada líneas arriba, primero, sabemos que la probabilidad de que el estudiante tenga 14 años es 50%(P(B)). Asimismo, la probabilidad que de que un estudiante tenga 14 años y use resaltador es 12/30=40%.

Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante use resaltador si tiene 14 años se calcularía de la siguiente forma:

P(A|B)=P(A ∩ B)/P(B)=0,4/0,5=0,8=80%

Es decir, existe un 80% de probabilidad de que un estudiante use resaltador si tiene 14 años.

Propiedades de la probabilidad condicional

Las propiedades de la probabilidad condicional son las siguientes:

• 

La suma de la probabilidad de A dado B y la de su complemento dado B es 1, cubriendo todas las posibilidades.

• 

Si A está dentro de B o son iguales, la probabilidad de A dado B siempre es 1, indicando certeza.

• 

Lo anterior quiere decir que la probabilidad de A es igual a la probabilidad de A dado B por la probabilidad de B más la probabilidad de A, dado el complemento de B por el complemento de B.

fuente:https://economipedia.com/definiciones/probabilidad-condicional.html#google_vignette

Clase 5

 EDGAR VALDEZ

202306010

5TA CLASE

ESTADISTICA

¿Qué es probabilidad del evento?

La probabilidad del evento es la probabilidad de que ocurra un resultado o evento específico. Lo opuesto de un evento es un no evento. La probabilidad del evento también se conoce como probabilidad pronosticada. La probabilidad del evento estima la probabilidad de que ocurra un evento, como sacar un as de un mazo de cartas o producir una pieza no conforme. La probabilidad de un evento varía de 0 (imposible) a 1 (seguro).

Cada ejecución en un experimento se denomina ensayo. Por ejemplo, si lanza una moneda al aire 10 veces y registra el número de caras, realiza 10 ensayos del experimento. Si los ensayos son independientes e igual de probables, usted puede estimar la probabilidad del evento dividiendo el número de eventos entre el número total de ensayos. Por ejemplo, si obtiene 6 caras en 10 lanzamientos de moneda, la probabilidad estimada del evento (obtener caras) es:

Número de eventos ÷ Número de ensayos = 6 ÷ 10 = 0.6

Una probabilidad de evento acumulada estima la probabilidad de que ocurra un conjunto de eventos (por ejemplo, la probabilidad de obtener 4 o menos al lanzar un dado, lo cual representa la suma de la probabilidad de obtener 1, 2, 3 y 4).

Calcular las probabilidades del evento para la regresión logística binaria

En la regresión logística binaria, una variable de respuesta solo tiene dos valores posibles, como la presencia o ausencia de una enfermedad específica. Usted puede ingresar datos de respuesta binaria en Minitab indicando columnas para el número de eventos y el número de ensayos. La probabilidad del evento es la probabilidad de que la respuesta para un patrón específico de factores o covariables sea 1 o un evento (por ejemplo, la probabilidad de que una mujer mayor de 50 años desarrolle diabetes de tipo 2).

• Calcular valores que existen en los datos de muestra
  1. Elija Estadísticas > Regresión > Regresión logística binaria > Ajustar modelo logístico binario.
  2. En Respuesta, ingrese la respuesta. En Predictores continuos, ingrese los términos. En Predictores categóricos, ingrese los factores.
  3. Haga clic en Almacenamiento y marque Ajustes (probabilidades del evento). Haga clic en Aceptar en cada cuadro de diálogo.
• Calcular valores para nuevas observaciones
1. Elija Estadísticas > Regresión > Regresión logística binaria > Ajustar modelo logístico binario.
2. En Respuesta, ingrese la respuesta. En Predictores continuos, ingrese los términos. En Predictores categóricos, ingrese los factores. Haga clic en Aceptar.
3. Elija Estadísticas > Regresión > Regresión logística binaria > Predecir.
4. Ingrese valores individuales o una columna en la que estén almacenados los valores, para cada predictor incluido en el modelo.
5. Haga clic en Aceptar.

IMAGEN TOMADA DE GOOGLE

IMAGEN DE https://raulagudeloucc.weebly.com/teoriacutea-de-la-probabilidad.html

Calcular las probabilidades del evento para regresión logística ordinal y nominal

En la regresión logística ordinal y nominal, una variable de respuesta puede tener tres o más categorías. La probabilidad del evento es la probabilidad de que un patrón específico de factores o covariables tenga una categoría específica de respuesta. La probabilidad acumulada de eventos es la probabilidad de que la respuesta para un patrón específico de factores o covariables esté en la categoría k o inferior, para cada k posible, donde k es igual a las categorías de respuesta, 1…k.

• Calcular valores que existen en los datos de muestra
  1. Elija Estadísticas > Regresión > Regresión logística ordinal o Estadísticas > Regresión > Regresión logística nominal. Los siguientes pasos son iguales para ambos análisis.
  2. En Respuesta, ingrese la respuesta. En Modelo, ingrese los predictores. En Predictores categóricos (opcional), ingrese los factores.
  3. Haga clic en Almacenamiento.
  4. En Ingrese el número de eventos, ingrese el número de valores distintos de la variable de respuesta. A continuación, marque Probabilidades del evento.
  5. Haga clic en Aceptar en cada cuadro de diálogo.
  Minitab almacena las probabilidades del evento en las siguientes columnas disponibles en la hoja de trabajo. El nombre predeterminado de las columnas comienza con EPROB, seguido de un número.
• Calcular valores para nuevas observaciones
1. Elija Estadísticas > Regresión > Regresión logística ordinal o Estadísticas > Regresión > Regresión logística nominal. Los siguientes pasos son iguales para ambos análisis.
2. En Respuesta, ingrese la respuesta. En Modelo, ingrese los predictores. En Predictores categóricos (opcional), ingrese los factores.
3. Haga clic en Almacenamiento y marque Coeficientes. Haga clic en Aceptar en cada cuadro de diálogo.
4. En la hoja de trabajo, escriba los valores para los cuales desea calcular las probabilidades del evento en las columnas correspondientes de predictores directamente debajo de los datos existentes. Debe escribir un valor en la columna de respuesta para cada fila adicional de datos que ingrese, pero el valor de la respuesta no afectará los resultados.
5. Elija Estadísticas > Regresión > Regresión logística ordinal o Estadísticas > Regresión > Regresión logística nominal.
6. Haga clic en Opciones.
7. Elija Estimaciones para modelo de validación e ingrese COEF1. Haga clic en Aceptar.
8. Haga clic en Almacenamiento.
9. En Ingrese el número de eventos, ingrese el número de valores distintos de la variable de respuesta.
10. Marque Probabilidades del evento. Desmarque Coeficientes. Haga clic en Aceptar en cada cuadro de diálogo.

Fuente: https://support.minitab.com/es-mx/minitab/help-and-how-to/statistical-modeling/regression/supporting-topics/logistic-regression/event-probability/

Ejemplo pares y nones

Fíjate el siguiente ejemplo vinculado al juego infantil de Pares y nones.

Pares y nones es un juego que se utiliza para elegir entre dos personas a una de las dos. Dos personas eligen entre par o impar, y sacan a la vez un número de dedos de una mano que tenían detrás de la espalda. En función de que la suma de los dedos que hayan sacado sea par o impar se elegirá al que eligió esa opción.

La sorpresa, si has jugado alguna vez a pares y nones, es que no es igual de probable que salga una opción o la otra, no es como lanzar una moneda al aire, no es un juego justo. La probabilidad demuestra que hay más posibilidades de que salga un número par que uno impar.

Puedes verlo en esta tabla, donde están marcados los números pares en amarillo. Si te fijas hay 25 resultados posibles y 13 de ellos son números pares.

La diferencia es pequeña, pero si juegas «pares» tienes un 4% más de probabilidad de ganar, ya que 1325=0,52, mientras que 1225=0,48.  fuente https://www.smartick.es/blog/matematicas/probabilidad-y-estadistica/probabilidad-que-es/

Clase 4

Por Edgar Valdez

202306010

 4ta clase 

Estadística

La Combinatoria es una herramienta que nos permite contar el número de situaciones que se pueden dar al someter a un conjunto finito a las acciones de ordenar y/o elegir entre sus elementos. 

Combinatoria

Numerosos fenómenos aleatorios son en realidad de tipo combinatorio, ya que se producen por combinación (selección o agrupación) de los elementos que componen un conjunto finito dado. Un ejemplo de problema combinatorio sería determinar cuántas jugadas de póquer distintas existen en una baraja completa de 52 cartas. La combinatoria analiza los fenómenos de este tipo según principios y fórmulas específicos de tipo no probabilístico.

https://www.youtube.com/watch?v=ec8TQjfQrGY

Agrupaciones en combinatoria

Dado un conjunto de m elementos, existen tres formas posibles de agruparlos y seleccionarlos:

• Considerando distinto cada grupo en el que exista alguna diferencia de número (contenido) o de orden. Las agrupaciones de esta clase se llaman variaciones.
• Teniendo en cuenta sólo grupos en los que intervengan siempre los m elementos, aunque en distinto orden de colocación (permutaciones).
• Interpretando como grupos distintos sólo a aquellos que tengan algún elemento diferente, sea cual sea su orden (combinaciones).

Cuando en cada uno de los grupos formados los elementos aparecen una sola vez, las agrupaciones se denominan ordinarias o sin repetición; en cambio, si en cada grupo puede aparecer un elemento varias veces, se habla de agrupaciones con repetición, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones.

Variaciones

Se llaman variaciones ordinarias (o variaciones sin repetición) de los n elementos de un conjunto tomados en grupos de r (siendo r £ n) todas las agrupaciones que se pueden formar de r elementos que se diferencien por el contenido de los elementos o por su orden de colocación.

La fórmula para determinar el número de variaciones ordinarias distintas susceptibles de formarse en un grupo de n elementos tomados de r en r es la siguiente:

Diagrama en árbol que muestra las variaciones ordinarias (sin repetición) que pueden formarse con los elementos (A, B, C, D) tomados de dos en dos.

Permutaciones

El caso particular de variaciones de n elementos tomados en grupos de r, en el que n = r se denomina permutación. Cada agrupación difiere de las restantes sólo en el orden de colocación de los elementos, y en cada grupo intervienen todos los elementos del conjunto.

Diagrama en árbol que muestra las permutaciones ordinarias (sin repetición) que pueden formarse con los elementos (A, B, C).

El número de permutaciones ordinarias formadas con n elementos viene dado por:

Pn = n (n - 1) (n - 2) ... 1 = n!

Combinaciones

Las agrupaciones combinatorias denominadas combinaciones son las que se obtienen al seleccionar de un conjunto de n elementos grupos de r, de tal forma que cada grupo es diferente de los demás si, y sólo si, contiene algún elemento diferente, sea cual sea su orden de colocación en el grupo.

El número de combinaciones ordinarias (sin repetición) que se pueden formar con n elementos tomados de r en r se calcula a partir de la siguiente fórmula:

La expresión  se lee «n sobre r» y se denomina número combinatorio.

El número de combinaciones de n elementos en grupos de r es igual al de variaciones de n en grupos de r dividido por el número de permutaciones de los r elementos de cada grupo. Es decir:

Diagrama en árbol que muestra las combinaciones ordinarias (sin repetición) que pueden formarse con los elementos (A, B, C, D) tomados de dos en dos.

https://www.hiru.eus/es/matematicas/combinatoria

Tercera Clase Estadística

 CLASE III

INGENIERO JUAN BAGUR ORDOÑEZ

TEMA: DIAGRAMA DE ARBOL

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados de un experimento que tiene varios pasos. Nos permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento de una manera muy sencilla.

Acontinuacion les presentare un ejemplo de un diagrama de arbol, como ejempo utilizare el lanzar una moneda y un dado.

              Imagen: https://matemovil.com/diagrama-de-arbol-probabilidades/

Para el cálculo de las probabilidades, usaremos un truco, si para calcular cierta probabilidad avanzamos hacia la derecha, entonces multiplicamos. Por otro lado, si para calcular cierta probabilidad avanzamos hacia abajo, entonces sumamos. 

       Imagen: https://matemovil.com/diagrama-de-arbol-probabilidades/

Ventajas del diagrama de árbol

• Permite visualizar la relación entre una generalidad y sus detalles.
• Logramos encontrar causa raíz del problema o situación que se aborda.
• Logramos detectar elementos faltantes (ramas) al tener una visión en conjunto del elemento central.
• Para analizar procesos de forma detallada.

    Muchas veces la creación de un diagrama de árbol puede ayudarnos a visualizar las posibilidades. Supongamos que se crea un código de tres dígitos usando los números 0,1 y 2 para que se permita la repetición de los números. Habría 3 posibilidades para el primer número, tres para el segundo número y tres para el tercer número, lo que significa que habría un total de3∗3∗3=27$3\ast 3\ast 3=27$ diferentes códigos posibles.
    Ejemplo

ejemplo 2

Ejercicio 2:

En una academia hay 3 aulas: el aula roja, el aula azul y el aula negra. El aula roja tiene al 50 % de los estudiantes de la academia, el aula azul al 30 % y el aula negra al 20 %. Además, en cada aula hay un 40 % de hombres. Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante hombre del aula azul?

Solución

Empezamos con nuestro diagrama de árbol a partir de la información del problema.

       Imagen: https://matemovil.com/diagrama-de-arbol-probabilidades/

fuente:  https://www.youtube.com/watch?v=AjDK3NQZdPc