VARIABLES ALEATORIAS Y DISCRETAS

 BY  EDGAR VALDEZ

ING. 

Juan Francisco Bagur Ordoñez

VARIABLES ALEATORIAS  DISCRETAS Y CONTINUAS

Definición de variable Continua

Las variables continuas son aquellas que pueden tomar un número infinito de valores dentro de un rango determinado. En otras palabras, son variables que pueden tener cualquier valor dentro de un intervalo en una escala continua. A diferencia de las variables discretas, que solo pueden tomar valores específicos (como números enteros), las variables continuas pueden incluir valores fraccionarios o decimales.

Las variables continuas son muy comunes en mediciones físicas, científicas y estadísticas, donde se busca capturar variaciones sutiles en los datos.

La probabilidad de que $X$ esté entre $a$ y $b$ se calcula integrando la función de densidad:

$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx$$

Donde:

• $f(x)$ es la función de densidad de la variable continua.
• El área bajo la curva de $f(x)$ entre $a$ y $b$ representa la probabilidad.

 Función de Distribución Acumulativa (CDF)

La función de distribución acumulativa $F(x)$ de una variable continua $X$ da la probabilidad de que $X$ sea menor o igual a un valor $x$:

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$$

Donde:

• $F(x)$ da la probabilidad acumulada hasta el valor $x$.
• Es útil para encontrar la probabilidad de que $X$ caiga dentro de ciertos rangos.

Características de las Variables Continuas

1. Escala continua: Pueden asumir cualquier valor dentro de un intervalo dado, sin saltos entre valores.
2. Representación decimal: Pueden tomar valores fraccionarios o decimales.
3. Ejemplo de dominio: Se miden en un rango específico, como en metros, segundos, grados, etc.
4. Análisis estadístico: Son útiles para realizar análisis estadísticos avanzados, como el cálculo de promedios, variancias, distribuciones de probabilidad, entre otros.

Ejemplos de Variables Continuas

Para entender mejor, veamos algunos ejemplos de variables continuas:

1. Peso corporal: El peso de una persona es un valor continuo, ya que puede ser cualquier número dentro de un rango razonable (como entre 30 kg y 150 kg) y puede incluir valores decimales, como 70.5 kg o 65.8 kg.

2. Estatura: La altura también es una variable continua, ya que puede ser cualquier valor dentro de un intervalo. Por ejemplo, alguien podría medir 1.68 metros, 1.683 metros o 1.6835 metros, dependiendo de la precisión del instrumento de medición.

3. Temperatura: La temperatura es otra variable continua. Puede medirse con precisión hasta decimales, como 22.3 °C o 35.6 °C. No se limita a valores enteros, por lo que representa un rango continuo de posibles valores.

4. Tiempo: En estudios de física o cronometraje, el tiempo es una variable continua. Por ejemplo, el tiempo que tarda una persona en completar una carrera de 100 metros puede ser de 10.25 segundos, 10.251 segundos, etc. Incluso los milisegundos y microsegundos se consideran en algunos casos.

5. Distancia: Si medimos la distancia que recorrió un coche en una carrera, ésta puede ser cualquier valor dentro de un intervalo (como entre 0 y 500 kilómetros). Dependiendo de la precisión del medidor, la distancia puede registrarse con valores decimales.

Importancia de las Variables Continuas

Las variables continuas son esenciales en investigaciones científicas y análisis estadísticos avanzados. Permiten estudiar fenómenos con una mayor precisión, lo cual es especialmente importante en áreas como:

• Medicina: Para analizar datos biométricos como presión sanguínea, nivel de glucosa, etc.
• Física e ingeniería: Para evaluar mediciones de energía, velocidad, frecuencia, entre otros.
• Economía y finanzas: Para realizar estudios detallados de precios, tasas de interés y otras métricas financieras.

Cómo Analizar Variables Continuas

En el análisis de variables continuas, se suelen utilizar herramientas como:

• Histogramas y curvas de distribución: Ayudan a visualizar la distribución de datos continuos.
• Media, mediana y desviación estándar: Estos parámetros estadísticos permiten resumir y entender la dispersión de los valores.
• Regresión y análisis de correlación: Permiten estudiar la relación entre variables continuas y predecir comportamientos.

VARIABLE DISCRETA

Las variables discretas son aquellas que solo pueden tomar ciertos valores específicos, generalmente números enteros, en un rango determinado. A diferencia de las variables continuas, las variables discretas no pueden tener valores decimales ni fraccionarios; están limitadas a valores que representan unidades completas o categorías.

En el análisis estadístico, las variables discretas son comunes cuando se cuentan elementos, eventos o categorías en lugar de medir magnitudes.

Características de las Variables Discretas

1. Valores específicos: Solo pueden asumir valores específicos y no cualquier número dentro de un rango.
2. Conteo de elementos: Suelen representar el conteo de elementos o eventos, como la cantidad de personas o el número de veces que ocurre un evento.
3. Representación de categorías: Pueden agrupar datos en categorías o clasificaciones.
4. Análisis estadístico: Son ideales para análisis de frecuencia, probabilidades discretas y gráficos de barras.

Ejemplos de Variables Discretas

Veamos algunos ejemplos que ilustran cómo funcionan las variables discretas:

1. Número de hijos en una familia: Este es un ejemplo clásico de variable discreta. Una familia puede tener 0, 1, 2, 3 o más hijos, pero no puede tener 2.5 hijos. El valor siempre será un número entero y no puede tomar valores fraccionarios.

2. Cantidad de estudiantes en un aula: Otro ejemplo de variable discreta es el número de estudiantes en un aula. Si hay 25 estudiantes, no es posible que haya 25.3 estudiantes. La cantidad de personas siempre será un número entero y representa un conteo.

3. Número de autos en un estacionamiento: La cantidad de autos en un estacionamiento en un momento dado es también una variable discreta. Puedes contar 15, 20 o 35 autos, pero nunca tendrás 15.5 autos.

4. Cantidad de libros en una biblioteca: Al contar los libros en una biblioteca, siempre se trata de un número entero: 300, 500 o cualquier otro número, pero nunca un valor decimal como 350.7.

5. Número de intentos en un examen: Si alguien ha hecho un examen, puede haberlo intentado 1, 2, 3 veces, pero no puede haber intentado 2.7 veces.

Importancia de las Variables Discretas

Las variables discretas son esenciales en situaciones donde se realiza un conteo exacto de eventos o elementos. Las áreas en las que comúnmente se encuentran variables discretas incluyen:

• Educación: Para contar la cantidad de estudiantes, de exámenes realizados o de tareas entregadas.
• Demografía y estudios de mercado: Para registrar el número de personas en una encuesta, hogares en una región, o preferencia de productos.
• Manufactura: Para contar el número de productos fabricados, unidades defectuosas o partes en inventario.

Cómo Analizar Variables Discretas

Para analizar variables discretas, se pueden utilizar varias herramientas estadísticas, como:

• Tablas de frecuencia: Para ver cuántas veces aparece cada valor en el conjunto de datos.
• Gráficos de barras y gráficos de pastel: Son útiles para representar visualmente la frecuencia de cada valor en una variable discreta.
• Distribución binomial o de Poisson: Si se analizan eventos que ocurren en ciertos intervalos de tiempo o espacio, se pueden utilizar estas distribuciones de probabilidad.

1. Función de Probabilidad (PMF)

Para una variable discreta $X$, la función de masa de probabilidad $P(X = x)$ define la probabilidad de que $X$ tome un valor específico $x$. A diferencia de una variable continua, en una variable discreta podemos calcular directamente la probabilidad de un valor exacto:

$$P(X = x) = p(x)$$

Donde:

• $p(x)$ es la probabilidad de que $X$ sea igual a $x$.
• La suma de todas las probabilidades para los posibles valores de $X$ debe ser igual a 1:

$$\sum_{x} p(x) = 1$$

2. Esperanza o Valor Esperado (Media) de una Variable Discreta

Para una variable discreta $X$ con posibles valores $x_1, x_2, \dots, x_n$ y probabilidades asociadas $p(x_1), p(x_2), \dots, p(x_n)$, el valor esperado (o media) $E(X)$ es:

$$E(X) = \sum_{x} x \cdot p(x)$$

Este valor representa el promedio ponderado de todos los valores posibles de $X$, ponderado por sus respectivas probabilidades.

3. Varianza de una Variable Discreta

La varianza mide la dispersión de los valores de $X$ alrededor de su media y se calcula como:

$$\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] = \sum_{x} (x - \mu)^2 \cdot p(x)$$

Otra fórmula útil para calcular la varianza es:

$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Donde:

• $\mu = E(X)$ es la media de $X$.
• $E(X^2) = \sum_{x} x^2 \cdot p(x)$ es el valor esperado del cuadrado de $X$.

4. Desviación Estándar

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y se utiliza para expresar la dispersión en las mismas unidades que la variable $X$:

$$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$$