Clase 9 La diferencia entre el Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes

 Edgar Valdez

202306010

clase 9 

en esta clase solo le tocó a un grupo pasar a exponer los integrantes fueron elegidos por el Ingeniero y estos fueron Sofonías y Elena el tema que impartieron fue el de  

La diferencia entre el Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes

Seguramente te suenen del curso de Estadística y Probabilidad, dos de los teoremas más importantes de esta 

área: el Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes.

Sin embargo, muchas veces puede ocurrir que no se acabe de entender muy bien cuándo hablamos de uno 

o de otro, en qué se parecen y en qué se diferencian, y lo más importante, para qué sirven. Así que en el post 

que les traigo hoy vamos a 

hablar de todo ello a ver si le damos un poco más de luz al asunto.

Teorema de la Probabilidad Total

Este teorema permite hallar la probabilidad de un evento B cuando el espacio muestral Ω está dividido en

 varios eventos: A1, A2, A3, …, An.

Si observamos la imagen anterior, tiene lógica que se le llame Teorema de la Probabilidad Total, ya que vemos 

que realmente el evento B se puede expresar como la suma de todos los trocitos en los que se intersecta con 

los eventos Ai.

De ahí que la fórmula se plantee de la siguiente manera:

Luego, teniendo en cuenta la fórmula de la probabilidad condicional:

Si miramos bien la última fórmula de arriba, y despejamos la probabilidad de la intersección, podemos sustituir 

cada intersección en la fórmula de la P(B), por un producto entre una probabilidad condicional y la probabilidad 

de cada Ai:

Veamos un ejemplo donde pondríamos en práctica el Teorema de la Probabilidad Total.

En una sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas, y el 40% son niños. De los niños el 

35% son menores de 24 meses. Y de las niñas el 20% son menores de 24 meses. Un pediatra que ingresa a 

la sala selecciona un infante al azar. Determina la probabilidad de que el infante seleccionado sea menor de 24

 meses.

Lo primero que tenemos que ver es que nos interesa el evento B = «infante menor de 24 meses» y que el

 espacio muestral (los infantes de la sala de pediatría) está dividido en dos partes: A1 = «niñas» y A2 = «niños».

Nos piden la probabilidad P(B), la probabilidad de que un infante seleccionado al azar sea menor de 24 meses.

 Así que tenemos que tener en cuenta tanto a los niños menores de 24 meses como a las niñas menores de 24

 meses, así como la cantidad (o porcentaje) de niños y niñas en general en la sala de pediatría:

 

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es útil para encontrar una probabilidad condicionada de un suceso cuando ya ha ocurrido 

otro suceso que afecta la probabilidad del primer suceso. Siguiendo el ejemplo anterior, si el infante seleccionado 

resulta ser menor de 24 meses, ¿cuál sería la probabilidad de que sea una niña? Es decir me piden P(A1|B). 

Para lo cual aplicamos la siguiente fórmula:

Si te fijas, el numerador es muy sencillo de calcular porque ya tenemos esos datos, y además es equivalente a 

P(B∩A1). Mientras que el numerador ya lo tenemos calculado con el Teorema de la Probabilidad 

Total. Entonces quedaría:

Entonces quedaría:

 

 

Clase 8

 Edgar Valdez

202306010

clase 8

para iniciar este blog, les contaré que en esta semana las clases fueron mas interactivas y participativas, no estoy diciendo que no lo son, sino  que el ingeniero nos dejo dar temas relacionas a las Probabilidades y cada grupo paso a exponer su tema correspondiente, a nosotros nos tocó impartir la clase sobre la probabilidad Total y Condicional:

Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento, que se puede realizar a través de varios caminos. Antes de revisar el teorema de probabilidad total, es necesario definir el concepto de «partición».

Veamos los ejemplos y ejercicios del teorema de la probabilidad total.

---

Partición

Sean  A1, A2, A2, … , An, eventos de un mismo espacio muestral S.  Dichos eventos forman una partición de S si son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Es decir, si cumplen con las condiciones siguientes:

---

Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total, establece que:

Sean A1, A2, A3, … , An, eventos que forman una partición del espacio muestral S, y sea B otro evento cualquiera del espacio muestral S, entonces la probabilidad del evento B se puede obtener de la siguiente manera:

Los problemas de probabilidades que requieren al teorema de probabilidad total, también se pueden resolver de manera sencilla usando el diagrama de árbol. Vamos a revisar 1 ejercicio, y lo vamos a resolver con el diagrama de árbol y con el teorema.

---

Ejercicio 1:

En un acuario se tienen solo 2 especies de peces, el 40% son de la especie azul y el 60% son de la especie roja. De la especie azul, el 30% son machos; mientras que, de la especie roja, el 40% son hembras. ¿Cuál es la probabilidad de que un pez elegido aleatoriamente en el acuario sea macho?

Solución con el diagrama de árbol:

A partir de los datos del enunciado, vamos a elaborar el diagrama de árbol.

Recuerda el truco que usamos para calcular probabilidades usando el diagrama de árbol: cuando avanzamos de izquierda a derecha, multiplicamos las probabilidades; cuando avanzamos de arriba hacia abajo, sumamos las probabilidades.

La probabilidad de encontrar un macho, seleccionando un pez de forma aleatoria es de 0,48 o 48%.

Solución con el teorema de probabilidad total:

Ahora resolvemos el mismo problema usando el teorema. Tenemos 2 eventos A1 y A2, que forman una partición del espacio muestral S (peces del acuario):

• A1: que un pez elegido aleatoriamente sea de la especie azul.
• A2: que un pez elegido aleatoriamente sea de la especie roja.

A partir del gráfico, sabemos que:

También tenemos al evento B:

• B: que un pez elegido aleatoriamente sea macho.

Nos dicen que de la especie azul, el 30% son machos. Por ello, sabemos que la probabilidad de que un pez sea macho, dado que es de la especie azul, es de:

Nos dicen que el 40% de los peces de la especia roja son hembras, por ello, el 60% serán machos. Entonces, sabemos que la probabilidad de que un pez sea macho, dado que es de la especie roja:

Recordemos el teorema de probabilidad total:

En nuestro caso, tenemos una partición del espacio muestral S, formada solo por 2 eventos: A1 y A2 .

Reemplazando nuestros valores:

La probabilidad de que un pez elegido aleatoriamente sea macho, es de 0,48 o 48 %.

---

Probabilidad condicional: Qué es y algunos ejemplos

La probabilidad condicional: Explicación sencilla

Dicho de otra manera, es una forma de medir la probabilidad de que ocurra algo (evento A) después de que ya ha sucedido otra cosa específica (esto sería el evento B).

Por ejemplo, imagina que tienes una bolsa de canicas con algunas rojas y otras azules, y quieres saber la probabilidad de sacar una canica roja después de haber sacado una azul.

Al hacer eso estás calculando una probabilidad condicional.

Si tenemos un evento, que denominamos A, condicionado a otro evento, al cual denominamos B, la notación sería P(A|B) y la fórmula sería la siguiente:

P(A|B)=P(A ∩ B)/P(B)

La fórmula se lee que la probabilidad de que suceda A, dado que ha acontecido B, es igual a la probabilidad de que ocurra A y B, al mismo tiempo, entre la probabilidad de B.

Ejemplo de probabilidad condicional

A continuación, veamos un ejemplo de probabilidad condicional.

Supongamos que tenemos un aula con 30 alumnos, siendo el 50 % de 14 años y el otro 50% de 15 años. Además, sabemos que 12 integrantes del salón tienen 14 años y usan resaltador en sus libros ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante del salón use resaltador si tiene 14 años?

Siguiendo la fórmula mostrada líneas arriba, primero, sabemos que la probabilidad de que el estudiante tenga 14 años es 50%(P(B)). Asimismo, la probabilidad que de que un estudiante tenga 14 años y use resaltador es 12/30=40%.

Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante use resaltador si tiene 14 años se calcularía de la siguiente forma:

P(A|B)=P(A ∩ B)/P(B)=0,4/0,5=0,8=80%

Es decir, existe un 80% de probabilidad de que un estudiante use resaltador si tiene 14 años.

Propiedades de la probabilidad condicional

Las propiedades de la probabilidad condicional son las siguientes:

• 

La suma de la probabilidad de A dado B y la de su complemento dado B es 1, cubriendo todas las posibilidades.

• 

Si A está dentro de B o son iguales, la probabilidad de A dado B siempre es 1, indicando certeza.

• 

Lo anterior quiere decir que la probabilidad de A es igual a la probabilidad de A dado B por la probabilidad de B más la probabilidad de A, dado el complemento de B por el complemento de B.

Clase 6

 EDGAR VALDEZ

202306010

6TA CLASE

ESTADISTICA

Probabilidad condicional e independencia

El concepto de probabilidad condicional está presente en el habla cotidiana. Son comunes, por ejemplo, expresiones del tipo:

Cuando llueve, la probabilidad de que se produzcan atascos es del 40%.

Si 

$A$

 es el evento atascos, la expresión anterior no significa que 

$P\left(A\right)=.4$

: 

$A$

 incluye también el evento atasco en ausencia de lluvia. Si 

$B$

 es el evento lluvia, la manera en que se representa la expresión anterior es

$$P\left(A|B\right)=.4,$$

que se lee así: la probabilidad condicional de 

$A$

 dado 

$B$

 es del 40%.

Supóngase ahora que de cada 100 días, 10 llueve. Es decir, que 

$P\left(B\right)=.1$

. Entonces, de cada 100 días, 4 lloverá y habrá atasco. Es decir, 

$P(A\cap B)=0.04$

. En general,

$$P(A\cap B)=P\left(A|B\right)\times P\left(B\right)$$

o, como se suele ver escrito por todas partes,

$$P\left(A|B\right)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$$

.$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Ejercicio 3.1 Supóngase que 

$P\left(A\right)=.2$

 y 

$P\left(B\right)=.5$

. Entonces, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son necesariamente ciertas?

• $P\left(A|B\right)=.1$
• $P\left(A|B\right)\le .4$
• $P\left(A|B\right)>0$

¿Puedes ilustrar tu razonamiento con ejemplos concretos y cotidianos?

El concepto de la probabilidad condicional aparece en muchos contextos, frecuentemente con denominaciones específicas. Por ejemplo, en epidemiología se distingue entre la tasa de mortalidad (o la probabilidad de morir a causa de una determinada enfermedad), que podríamos representar como 

$P\left(M\right)$

 y la tasa de letalidad, 

$P\left(M|C\right)$

, que es la probabilidad de morir condicionada a haber contraído la enfermedad. También se habla de tasa de paro (la probabilidad de estar desempleado) y, p.e., tasa de paro femenina, o la probabilidad de que una mujer se encuentre desempleada, que es la probabilidad de que una persona esté desempleada condicionada a que dicha persona es mujer (o 

$P\left(D|M\right)$

).

Hablar de probabilidades condicionales viene a ser equivalente a cambiar (o estrechar) el marco de referencia, el evento total. De hecho, por lo anterior,

$$P\left(B|B\right)=\frac{P(B\cap B)}{P\left(B\right)}$$

=P(B)P(B)

=1.$$P(B|B)=\frac{P(B\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1.$$

Al condicionar por 

$B$

, por lo tanto, se está reemplazando el conjunto total, 

$\Omega$

, por 

$B$

. En el ejemplo concreto con el que se inicia esta sección, eso significa que ya no se tienen en cuenta todas las condiciones meteorológicas posibles sino solamente aquellas en que llueve.

Ni que decir tiene que también es posible condicionar usando eventos definidos por variables aleatorias. En tal caso, por abreviar, se usa la notación

$$P(A|X=a)$$

para representar la probabilidad de 

$A$

 condicionada por evento en que la variable aleatoria 

$X$

 toma el valor 

$a$

. También se usan otras expresiones análogas cuyo significado se entenderá sin problemas en su contexto.

Probabilidad condicional para sucesos independientes

Dos sucesos,  y , son independientes cuando la probabilidad de que suceda  no se ve afectada porque haya sucedido, o no, .

Por ejemplo, Si tiramos dos veces una moneda, el segundo resultado que obtenemos no está influenciado por el primer resultado obtenido.

Si dos sucesos  y  son independientes, entonces .

Por tanto, si , de la definición de probabilidad condicional resulta que:

En otras palabras, si dos sucesos  y  son independientes, entonces la probabilidad condicional de  cuando se sabe que  ha ocurrido es la misma que la probabilidad incondicional de  cuando no se dispone de información sobre . El resultado recíproco también es cierto, si:

entonces los sucesos  y  deben ser independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos,  y , son dependientes cuando la probabilidad de que suceda  se ve afectada porque haya sucedido, o no, .

Dos sucesos  y  son dependientes si:

Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=Q6QYG2VtdMA

Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=AT78AzlPjnM

Ejemplo de probabilidad condicional

A continuación, veamos un ejemplo de probabilidad condicional.

Supongamos que tenemos un aula con 30 alumnos, siendo el 50 % de 14 años y el otro 50% de 15 años. Además, sabemos que 12 integrantes del salón tienen 14 años y usan resaltador en sus libros ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante del salón use resaltador si tiene 14 años?

Siguiendo la fórmula mostrada líneas arriba, primero, sabemos que la probabilidad de que el estudiante tenga 14 años es 50%(P(B)). Asimismo, la probabilidad que de que un estudiante tenga 14 años y use resaltador es 12/30=40%.

Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante use resaltador si tiene 14 años se calcularía de la siguiente forma:

P(A|B)=P(A ∩ B)/P(B)=0,4/0,5=0,8=80%

Es decir, existe un 80% de probabilidad de que un estudiante use resaltador si tiene 14 años.

Propiedades de la probabilidad condicional

Las propiedades de la probabilidad condicional son las siguientes:

• 

La suma de la probabilidad de A dado B y la de su complemento dado B es 1, cubriendo todas las posibilidades.

• 

Si A está dentro de B o son iguales, la probabilidad de A dado B siempre es 1, indicando certeza.

• 

Lo anterior quiere decir que la probabilidad de A es igual a la probabilidad de A dado B por la probabilidad de B más la probabilidad de A, dado el complemento de B por el complemento de B.

fuente:https://economipedia.com/definiciones/probabilidad-condicional.html#google_vignette