VARIABLES ALEATORIAS Y DISCRETAS

 BY  EDGAR VALDEZ

ING. 

Juan Francisco Bagur Ordoñez

VARIABLES ALEATORIAS  DISCRETAS Y CONTINUAS

Definición de variable Continua

Las variables continuas son aquellas que pueden tomar un número infinito de valores dentro de un rango determinado. En otras palabras, son variables que pueden tener cualquier valor dentro de un intervalo en una escala continua. A diferencia de las variables discretas, que solo pueden tomar valores específicos (como números enteros), las variables continuas pueden incluir valores fraccionarios o decimales.

Las variables continuas son muy comunes en mediciones físicas, científicas y estadísticas, donde se busca capturar variaciones sutiles en los datos.

La probabilidad de que $X$ esté entre $a$ y $b$ se calcula integrando la función de densidad:

$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx$$

Donde:

• $f(x)$ es la función de densidad de la variable continua.
• El área bajo la curva de $f(x)$ entre $a$ y $b$ representa la probabilidad.

 Función de Distribución Acumulativa (CDF)

La función de distribución acumulativa $F(x)$ de una variable continua $X$ da la probabilidad de que $X$ sea menor o igual a un valor $x$:

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$$

Donde:

• $F(x)$ da la probabilidad acumulada hasta el valor $x$.
• Es útil para encontrar la probabilidad de que $X$ caiga dentro de ciertos rangos.

Características de las Variables Continuas

1. Escala continua: Pueden asumir cualquier valor dentro de un intervalo dado, sin saltos entre valores.
2. Representación decimal: Pueden tomar valores fraccionarios o decimales.
3. Ejemplo de dominio: Se miden en un rango específico, como en metros, segundos, grados, etc.
4. Análisis estadístico: Son útiles para realizar análisis estadísticos avanzados, como el cálculo de promedios, variancias, distribuciones de probabilidad, entre otros.

Ejemplos de Variables Continuas

Para entender mejor, veamos algunos ejemplos de variables continuas:

1. Peso corporal: El peso de una persona es un valor continuo, ya que puede ser cualquier número dentro de un rango razonable (como entre 30 kg y 150 kg) y puede incluir valores decimales, como 70.5 kg o 65.8 kg.

2. Estatura: La altura también es una variable continua, ya que puede ser cualquier valor dentro de un intervalo. Por ejemplo, alguien podría medir 1.68 metros, 1.683 metros o 1.6835 metros, dependiendo de la precisión del instrumento de medición.

3. Temperatura: La temperatura es otra variable continua. Puede medirse con precisión hasta decimales, como 22.3 °C o 35.6 °C. No se limita a valores enteros, por lo que representa un rango continuo de posibles valores.

4. Tiempo: En estudios de física o cronometraje, el tiempo es una variable continua. Por ejemplo, el tiempo que tarda una persona en completar una carrera de 100 metros puede ser de 10.25 segundos, 10.251 segundos, etc. Incluso los milisegundos y microsegundos se consideran en algunos casos.

5. Distancia: Si medimos la distancia que recorrió un coche en una carrera, ésta puede ser cualquier valor dentro de un intervalo (como entre 0 y 500 kilómetros). Dependiendo de la precisión del medidor, la distancia puede registrarse con valores decimales.

Importancia de las Variables Continuas

Las variables continuas son esenciales en investigaciones científicas y análisis estadísticos avanzados. Permiten estudiar fenómenos con una mayor precisión, lo cual es especialmente importante en áreas como:

• Medicina: Para analizar datos biométricos como presión sanguínea, nivel de glucosa, etc.
• Física e ingeniería: Para evaluar mediciones de energía, velocidad, frecuencia, entre otros.
• Economía y finanzas: Para realizar estudios detallados de precios, tasas de interés y otras métricas financieras.

Cómo Analizar Variables Continuas

En el análisis de variables continuas, se suelen utilizar herramientas como:

• Histogramas y curvas de distribución: Ayudan a visualizar la distribución de datos continuos.
• Media, mediana y desviación estándar: Estos parámetros estadísticos permiten resumir y entender la dispersión de los valores.
• Regresión y análisis de correlación: Permiten estudiar la relación entre variables continuas y predecir comportamientos.

VARIABLE DISCRETA

Las variables discretas son aquellas que solo pueden tomar ciertos valores específicos, generalmente números enteros, en un rango determinado. A diferencia de las variables continuas, las variables discretas no pueden tener valores decimales ni fraccionarios; están limitadas a valores que representan unidades completas o categorías.

En el análisis estadístico, las variables discretas son comunes cuando se cuentan elementos, eventos o categorías en lugar de medir magnitudes.

Características de las Variables Discretas

1. Valores específicos: Solo pueden asumir valores específicos y no cualquier número dentro de un rango.
2. Conteo de elementos: Suelen representar el conteo de elementos o eventos, como la cantidad de personas o el número de veces que ocurre un evento.
3. Representación de categorías: Pueden agrupar datos en categorías o clasificaciones.
4. Análisis estadístico: Son ideales para análisis de frecuencia, probabilidades discretas y gráficos de barras.

Ejemplos de Variables Discretas

Veamos algunos ejemplos que ilustran cómo funcionan las variables discretas:

1. Número de hijos en una familia: Este es un ejemplo clásico de variable discreta. Una familia puede tener 0, 1, 2, 3 o más hijos, pero no puede tener 2.5 hijos. El valor siempre será un número entero y no puede tomar valores fraccionarios.

2. Cantidad de estudiantes en un aula: Otro ejemplo de variable discreta es el número de estudiantes en un aula. Si hay 25 estudiantes, no es posible que haya 25.3 estudiantes. La cantidad de personas siempre será un número entero y representa un conteo.

3. Número de autos en un estacionamiento: La cantidad de autos en un estacionamiento en un momento dado es también una variable discreta. Puedes contar 15, 20 o 35 autos, pero nunca tendrás 15.5 autos.

4. Cantidad de libros en una biblioteca: Al contar los libros en una biblioteca, siempre se trata de un número entero: 300, 500 o cualquier otro número, pero nunca un valor decimal como 350.7.

5. Número de intentos en un examen: Si alguien ha hecho un examen, puede haberlo intentado 1, 2, 3 veces, pero no puede haber intentado 2.7 veces.

Importancia de las Variables Discretas

Las variables discretas son esenciales en situaciones donde se realiza un conteo exacto de eventos o elementos. Las áreas en las que comúnmente se encuentran variables discretas incluyen:

• Educación: Para contar la cantidad de estudiantes, de exámenes realizados o de tareas entregadas.
• Demografía y estudios de mercado: Para registrar el número de personas en una encuesta, hogares en una región, o preferencia de productos.
• Manufactura: Para contar el número de productos fabricados, unidades defectuosas o partes en inventario.

Cómo Analizar Variables Discretas

Para analizar variables discretas, se pueden utilizar varias herramientas estadísticas, como:

• Tablas de frecuencia: Para ver cuántas veces aparece cada valor en el conjunto de datos.
• Gráficos de barras y gráficos de pastel: Son útiles para representar visualmente la frecuencia de cada valor en una variable discreta.
• Distribución binomial o de Poisson: Si se analizan eventos que ocurren en ciertos intervalos de tiempo o espacio, se pueden utilizar estas distribuciones de probabilidad.

1. Función de Probabilidad (PMF)

Para una variable discreta $X$, la función de masa de probabilidad $P(X = x)$ define la probabilidad de que $X$ tome un valor específico $x$. A diferencia de una variable continua, en una variable discreta podemos calcular directamente la probabilidad de un valor exacto:

$$P(X = x) = p(x)$$

Donde:

• $p(x)$ es la probabilidad de que $X$ sea igual a $x$.
• La suma de todas las probabilidades para los posibles valores de $X$ debe ser igual a 1:

$$\sum_{x} p(x) = 1$$

2. Esperanza o Valor Esperado (Media) de una Variable Discreta

Para una variable discreta $X$ con posibles valores $x_1, x_2, \dots, x_n$ y probabilidades asociadas $p(x_1), p(x_2), \dots, p(x_n)$, el valor esperado (o media) $E(X)$ es:

$$E(X) = \sum_{x} x \cdot p(x)$$

Este valor representa el promedio ponderado de todos los valores posibles de $X$, ponderado por sus respectivas probabilidades.

3. Varianza de una Variable Discreta

La varianza mide la dispersión de los valores de $X$ alrededor de su media y se calcula como:

$$\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] = \sum_{x} (x - \mu)^2 \cdot p(x)$$

Otra fórmula útil para calcular la varianza es:

$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Donde:

• $\mu = E(X)$ es la media de $X$.
• $E(X^2) = \sum_{x} x^2 \cdot p(x)$ es el valor esperado del cuadrado de $X$.

4. Desviación Estándar

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y se utiliza para expresar la dispersión en las mismas unidades que la variable $X$:

$$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$$

BLACKJAK

 por edgar valdez

05NOV2024

ING. Juan Francisco Bagur Ordoñez

En esta semana nos toco recibir una clase  cineforo, esta vez trato de una película muy explicita en el tema de estadistica, donde usan mucha probabilidades para poder ganar mucha cantidad de dolares en apuestas, estas apuestas nada menos que en la ciudad del pecado como le llaman LAS VEGAS NEVADA, EEUU.  La Película es BLACKJAC con los actores :

Actores y actrices

Jim Sturgess

Personaje : Ben Campbell

Kate Bosworth

Personaje : Jill Taylor

Laurence Fishburne

Personaje : Cole Williams

Kevin Spacey

Personaje : Micky Rosa

Aaron Yoo

Liza Lapira

Personaje : Kianna

Jacob Pitts

Personaje : Fisher

Josh Gad

Personaje : Miles Connoly

Trata de un profesor universitrio que recluta jóvenes estudiantes de un intelecto elevado en las matemáticas mas preciso en estadistica.  Los hace entrenar para poder invitar al que se encargará de ganar la apuesta, con señales y avisos visuales cuando ya los que se han sentado antes sacan las posibles probabilidades, entra el personaje central y se sienta, empieza a contar las cartas que han salido y es donde utiliza los metodos de probabilidades, el metodo de Bayes. tambien la probabilidad total.

II PARCIAL

 

por edgar valdez

INGENIERO 

Juan Francisco Bagur Ordoñez

28/09/2024

II PARCIAL DE ESTADISTICA

 

Este sábado ya estaba calendarizado el II PARCIAL del Curso, por lo que inicio con  la hora actual y establecida, fue un exámen que realmente tuve o trate de resolver, pero como estabamos con mucho trabajo cargado en donde laboro se me hizo un poco dificil estudiar y repasar el curso por lo que si me fue realmente mal.  Pero si la metodologia que el Ingeniero Bagur utiliza es una de las mejores que he visto , porque pone a realizar la tarea en clase, asi se le daba respuesta a cualquier duda que tuvieramos. 

Corazón Fuerte

Te haré de acero

hasta volverte inquebrantable;

voy a extraer de tus entrañas

cualquier sentimiento,

de manera inexorable.

Te forjaré de nuevo,

disolviendo tus cenizas,

aquello que quedó de lo que, quizás,

han hecho trizas.

Y volarás de nuevo como un ave fénix,

pero ahora contemplando el mundo,

indiferente, mas no iracundo.

Con más frialdad de la que ya tenías,

esperando el momento de hundir la espada

donde el dolor llegó a estar anegado.

Te armaré de valor,

de manera estoica,

para que no corras a saciarte

en cualquier otra boca,

solo para calmar,

de manera momentánea,

la sed de sangre

que tu dolor provoca.

Te haré de acero, corazón,

y de fuego el alma.

Así tendré que reiniciarte,

para que encuentres calma.

Clase 9 La diferencia entre el Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes

 Edgar Valdez

202306010

clase 9 

en esta clase solo le tocó a un grupo pasar a exponer los integrantes fueron elegidos por el Ingeniero y estos fueron Sofonías y Elena el tema que impartieron fue el de  

La diferencia entre el Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes

Seguramente te suenen del curso de Estadística y Probabilidad, dos de los teoremas más importantes de esta 

área: el Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes.

Sin embargo, muchas veces puede ocurrir que no se acabe de entender muy bien cuándo hablamos de uno 

o de otro, en qué se parecen y en qué se diferencian, y lo más importante, para qué sirven. Así que en el post 

que les traigo hoy vamos a 

hablar de todo ello a ver si le damos un poco más de luz al asunto.

Teorema de la Probabilidad Total

Este teorema permite hallar la probabilidad de un evento B cuando el espacio muestral Ω está dividido en

 varios eventos: A1, A2, A3, …, An.

Si observamos la imagen anterior, tiene lógica que se le llame Teorema de la Probabilidad Total, ya que vemos 

que realmente el evento B se puede expresar como la suma de todos los trocitos en los que se intersecta con 

los eventos Ai.

De ahí que la fórmula se plantee de la siguiente manera:

Luego, teniendo en cuenta la fórmula de la probabilidad condicional:

Si miramos bien la última fórmula de arriba, y despejamos la probabilidad de la intersección, podemos sustituir 

cada intersección en la fórmula de la P(B), por un producto entre una probabilidad condicional y la probabilidad 

de cada Ai:

Veamos un ejemplo donde pondríamos en práctica el Teorema de la Probabilidad Total.

En una sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas, y el 40% son niños. De los niños el 

35% son menores de 24 meses. Y de las niñas el 20% son menores de 24 meses. Un pediatra que ingresa a 

la sala selecciona un infante al azar. Determina la probabilidad de que el infante seleccionado sea menor de 24

 meses.

Lo primero que tenemos que ver es que nos interesa el evento B = «infante menor de 24 meses» y que el

 espacio muestral (los infantes de la sala de pediatría) está dividido en dos partes: A1 = «niñas» y A2 = «niños».

Nos piden la probabilidad P(B), la probabilidad de que un infante seleccionado al azar sea menor de 24 meses.

 Así que tenemos que tener en cuenta tanto a los niños menores de 24 meses como a las niñas menores de 24

 meses, así como la cantidad (o porcentaje) de niños y niñas en general en la sala de pediatría:

 

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es útil para encontrar una probabilidad condicionada de un suceso cuando ya ha ocurrido 

otro suceso que afecta la probabilidad del primer suceso. Siguiendo el ejemplo anterior, si el infante seleccionado 

resulta ser menor de 24 meses, ¿cuál sería la probabilidad de que sea una niña? Es decir me piden P(A1|B). 

Para lo cual aplicamos la siguiente fórmula:

Si te fijas, el numerador es muy sencillo de calcular porque ya tenemos esos datos, y además es equivalente a 

P(B∩A1). Mientras que el numerador ya lo tenemos calculado con el Teorema de la Probabilidad 

Total. Entonces quedaría:

Entonces quedaría:

 

 

Clase 8

 Edgar Valdez

202306010

clase 8

para iniciar este blog, les contaré que en esta semana las clases fueron mas interactivas y participativas, no estoy diciendo que no lo son, sino  que el ingeniero nos dejo dar temas relacionas a las Probabilidades y cada grupo paso a exponer su tema correspondiente, a nosotros nos tocó impartir la clase sobre la probabilidad Total y Condicional:

Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento, que se puede realizar a través de varios caminos. Antes de revisar el teorema de probabilidad total, es necesario definir el concepto de «partición».

Veamos los ejemplos y ejercicios del teorema de la probabilidad total.

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Partición

Sean  A1, A2, A2, … , An, eventos de un mismo espacio muestral S.  Dichos eventos forman una partición de S si son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Es decir, si cumplen con las condiciones siguientes:

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Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total, establece que:

Sean A1, A2, A3, … , An, eventos que forman una partición del espacio muestral S, y sea B otro evento cualquiera del espacio muestral S, entonces la probabilidad del evento B se puede obtener de la siguiente manera:

Los problemas de probabilidades que requieren al teorema de probabilidad total, también se pueden resolver de manera sencilla usando el diagrama de árbol. Vamos a revisar 1 ejercicio, y lo vamos a resolver con el diagrama de árbol y con el teorema.

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Ejercicio 1:

En un acuario se tienen solo 2 especies de peces, el 40% son de la especie azul y el 60% son de la especie roja. De la especie azul, el 30% son machos; mientras que, de la especie roja, el 40% son hembras. ¿Cuál es la probabilidad de que un pez elegido aleatoriamente en el acuario sea macho?

Solución con el diagrama de árbol:

A partir de los datos del enunciado, vamos a elaborar el diagrama de árbol.

Recuerda el truco que usamos para calcular probabilidades usando el diagrama de árbol: cuando avanzamos de izquierda a derecha, multiplicamos las probabilidades; cuando avanzamos de arriba hacia abajo, sumamos las probabilidades.

La probabilidad de encontrar un macho, seleccionando un pez de forma aleatoria es de 0,48 o 48%.

Solución con el teorema de probabilidad total:

Ahora resolvemos el mismo problema usando el teorema. Tenemos 2 eventos A1 y A2, que forman una partición del espacio muestral S (peces del acuario):

• A1: que un pez elegido aleatoriamente sea de la especie azul.
• A2: que un pez elegido aleatoriamente sea de la especie roja.

A partir del gráfico, sabemos que:

También tenemos al evento B:

• B: que un pez elegido aleatoriamente sea macho.

Nos dicen que de la especie azul, el 30% son machos. Por ello, sabemos que la probabilidad de que un pez sea macho, dado que es de la especie azul, es de:

Nos dicen que el 40% de los peces de la especia roja son hembras, por ello, el 60% serán machos. Entonces, sabemos que la probabilidad de que un pez sea macho, dado que es de la especie roja:

Recordemos el teorema de probabilidad total:

En nuestro caso, tenemos una partición del espacio muestral S, formada solo por 2 eventos: A1 y A2 .

Reemplazando nuestros valores:

La probabilidad de que un pez elegido aleatoriamente sea macho, es de 0,48 o 48 %.

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Probabilidad condicional: Qué es y algunos ejemplos

La probabilidad condicional: Explicación sencilla

Dicho de otra manera, es una forma de medir la probabilidad de que ocurra algo (evento A) después de que ya ha sucedido otra cosa específica (esto sería el evento B).

Por ejemplo, imagina que tienes una bolsa de canicas con algunas rojas y otras azules, y quieres saber la probabilidad de sacar una canica roja después de haber sacado una azul.

Al hacer eso estás calculando una probabilidad condicional.

Si tenemos un evento, que denominamos A, condicionado a otro evento, al cual denominamos B, la notación sería P(A|B) y la fórmula sería la siguiente:

P(A|B)=P(A ∩ B)/P(B)

La fórmula se lee que la probabilidad de que suceda A, dado que ha acontecido B, es igual a la probabilidad de que ocurra A y B, al mismo tiempo, entre la probabilidad de B.

Ejemplo de probabilidad condicional

A continuación, veamos un ejemplo de probabilidad condicional.

Supongamos que tenemos un aula con 30 alumnos, siendo el 50 % de 14 años y el otro 50% de 15 años. Además, sabemos que 12 integrantes del salón tienen 14 años y usan resaltador en sus libros ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante del salón use resaltador si tiene 14 años?

Siguiendo la fórmula mostrada líneas arriba, primero, sabemos que la probabilidad de que el estudiante tenga 14 años es 50%(P(B)). Asimismo, la probabilidad que de que un estudiante tenga 14 años y use resaltador es 12/30=40%.

Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante use resaltador si tiene 14 años se calcularía de la siguiente forma:

P(A|B)=P(A ∩ B)/P(B)=0,4/0,5=0,8=80%

Es decir, existe un 80% de probabilidad de que un estudiante use resaltador si tiene 14 años.

Propiedades de la probabilidad condicional

Las propiedades de la probabilidad condicional son las siguientes:

• 

La suma de la probabilidad de A dado B y la de su complemento dado B es 1, cubriendo todas las posibilidades.

• 

Si A está dentro de B o son iguales, la probabilidad de A dado B siempre es 1, indicando certeza.

• 

Lo anterior quiere decir que la probabilidad de A es igual a la probabilidad de A dado B por la probabilidad de B más la probabilidad de A, dado el complemento de B por el complemento de B.